Bagaimana Mencari Persamaan Garis Singgung Kurva

Materi turunan dalam Matematika memiliki sub bab mengenai persamaan garis singgung suatu kurva, maka materi ini pasti akan teman-teman temui jika sedang mengulas mengenai turunan. Agar teman-teman lebih paham mengenai cara mencari persamaan garis singgung kurva mari kita simak penjelasan berikut ini.

Sebelum kita belajar ke materi inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradien garis yang disimbolkan dengan m, dimana :

• gradian garis untuk persamaan y=mx+c adalah m
• gradien garis untuk persamaan ax+by=c, maka m=-a/b
• gradien garis jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari gradien garisnya                            m=(y2-y1)/(x2-x1)

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

• jika saling sejajar maka m1=m2
• jika saling tegak lurus maka m1.m2=-1 atau m1=-1/(m2)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).
Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan
y-y1=m(x-x1)

Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan

Agar lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung tersebut, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini :
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3) ?
Jawab :
f(x) = x³ – 3x
f ‘(x) = 3x² – 3
m = f ‘(2) = 12 – 3 = 9
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 9 (x – 2)
y – 3 = 9x – 18
y = 9x – 15
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 7x² + 20  di titik yang berabsis 2 ?
Jawab :
x = 2
y = x⁴ – 7x² + 20 = y = 2⁴ – 7.2² + 20 = 16 – 28 + 20 = 8
m =y’ = 4x³ – 14 x = 4.2³ – 14.2 = 32 – 28 = 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 8 = 4(x – 2)
y – 8 = 4x – 8
y = 4x
3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ + 10 di titik yang berordinat 18 ?
Jawab :
Ordinat adalah nilai y, maka
y = 18
x³ + 10 = 18
x³ = 8
x = 2
m = y’ = 3x² = 3.2² = 12
Sehingga persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 18 = 12(x – 2)
y – 8 = 12x – 24
y = 12x – 16
5. Persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 5x² + 10 di titik yang berordinat 6 adalah
Jawab :
ordinat = 6
x⁴ – 5x² + 10 = 6
x⁴ – 5x² + 4 = 0
(x² – 1)(x² – 4) = 0
(x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0
x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2
untuk x = -1
m = 4x³ – 10x = -4 + 10 = 6
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 6(x + 1)
y – 6 = 6x + 6
y = 6x + 12
Untuk x = 1
m = 4x³ – 10x = 4 – 10 = -6
y – y₁ = m(x – x₁)
y –  6 = -6(x – 1)
y – 6 = -6x + 6
y = -6x + 12
Untuk x = -2
m = 4x³ – 10x = 4(-2)³ – 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = -12(x + 2)
y – 6 = -12x – 24
y = -12x – 18
Untuk x = 2
m = 4x³ – 10x = 4.2³ – 10.2 = 4.8 – 20 = 32 – 20 = 12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 12(x – 2)
y – 6 = 12x – 24
y = 12x – 18
Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12, y = -6x = 12, y = -12x – 18 dan y = 12x – 18
6. Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x⁴ – 20 yang sejajar dengan garis y = 12x + 8 adalah
Jawab :
y = 3x⁴ – 20
y’ = 12x³
Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah
y = 12x + 8
maka gradien garis ini adalah m₁ = 12
Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m₂) adalah
m₂ = m₁ = 12
gradien garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga
y’ = 12
12x³ = 12
x³ = 1
x = 1
maka y = 3x⁴ – 20 = 3 – 20 = – 17
Persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m(x – x₁)
y + 17 = 12(x – 1)
y + 17 = 12x – 12
y = 12x – 29
7. Garis yang menyinggung kurva y = 12  – x⁴  dan tegak lurus dengan x – 32y = 48 mempunyai persamaan ….
Jawab :
y = 12  – x⁴
y’ = – 4x³
Sedangkan
x – 32y = 48
32y = x – 48

Garis ini memiliki gradien m1=1/32
Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini maka
m₁.m₂ = -1
(1/32)m2=-1
m₂= -32
m₂ ini adalah gradien garis singgung, sehingga sama dengan turunan
y’ = -32
– 4x³ = -32
x³ = 8
x = 2
y = 12  – x⁴ = 12-2⁴ = -4
maka persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m(x – x₁)
y + 4 = -32(x – 2)
y + 4 = -32x + 64
y = -32x + 60

Sekian paparan materi persamaan garis singgung, semoga dapat membantu dalam proses belajar temen-temen semua. Jangan lupa baca juga materi sebelumnya mengenai Transformasi Geometri.

sumber : http://rumus-matematika.com/bagaimana-mencari-persamaan-garis-singgung-kurva/

Read More

 

Rumus Turunan Lengkap Beserta Contoh

Monday, August 19th 2013. | Fungsi Eksponen dan Logaritma, Turunan

advertisements

Matematika merupakan ilmu yang sangat luas juga menyenangkan, sebelumnya telah kita bahas mengenai frekuensi harapan dan peluang komplemen suatu kejadian yang merupakan sub bahasan dari topik peluang. Dan kali ini topik yang akan kita pelajari mengenai turunan? anda pasti telah mengenal apa itu turunan bukan?

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan  disebut diferensiasi.

• 
• 
• 
• 

•  adalah simbol untuk turunan pertama.
•  adalah simbol untuk turunan kedua.
•  adalah simbol untuk turunan ketiga.

simbol lainnya selain  dan  adalah  dan 
TURUNAN PERTAMA
Misalnya  y merupakan fungsi dari x atau dapat ditulis juga y=f(x). Turunan dari y terhadap x dinotasikan sebagai berikut:

Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu :
1. Jika diketahui dimana C dan n konstanta real, maka 
Perhatikan contoh berikut :

2. Jika diketahui  y=C dan  
Perhatikan contoh berikut :

3. Untuk y=f(x)+g(x) maka 
Perhatikan contoh berikut :

4. Untuk y=f(x).g(x) maka

atau dapat juga kita misalkan f(x)=u dan g(x)=v sehingga rumus turunan u.v=u’v+uv’
contoh :

5. 

6. Untuk turunan lain tersaji dalam penjelasan dibawah ini.


TURUNAN KEDUA
Turunan kedua dari y=f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut

Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut :

Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk :
a. Menentukan gradien garis singgung kurva
Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik (a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah

Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4) !
Penyelesaian :

Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5
b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun
kurva y =f(x) naik jika f ‘ (x) >0  dan  kurva y=f(x) turun jika f ‘ (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan  f ‘ (x) > 0  atau  f ‘ (x) <0 ? kita gunakan garis bilangan dari f ‘ (x). Perhatikan contoh berikut :
Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x !
Jawab :
y=f(x)=x³+3x²-24x →f ‘ (x)=3x²+6×-24=3(x²+2×-8)=3(x+4)(x-2)

Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas :
f ‘ (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik.
F ‘ (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun.
c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum
Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat diperoleh pada f ‘ (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24×-7 !
Jawab :
y’=3x²-6×-24
nilai ekstrim diperoleh dari y’=o maka
3x²-6×-24 = 0
(x²-2×-8)=0
(x-4)(x+2)=0
x1=4 ; x2=-2

Berdasarkan garis bilangan diatas :
Fungsi maksimum pada x=-2 sehingga nilai balik maksimumnya yaitu :
f(-2)=(-2)³-3(-2)²-24(-2)-7
f(-2)=21
Fungsi minimum pada x=4 sehingga nilai balik minimumnya yaitu :
f(4)=(4)³-3(4)²-24(4)-7
f(4)=-87

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Berikut ini rumus untuk turunan fungsi trigonometri :



Perhatikan contoh berikut :

Jawab :

Apakah dari penjelasan mengenai turunan diatas telah membuat anda benar-benar mengerti tentang turunan dan telah dapat mengerjakan ragam variasi soal turunan yang akan anda temui. Semoga saja demikian. Sebagai masukkan banyaklah belajar soal-soal agar anda lebih mantap dalam mengerti setiap materi matematika. Semangatlah dalam belajar agar apa yang dicita-citakan dapat tercapai, baca juga artikel Peluang Kejadian Majemuk dan Kejadian Bersyarat dari sub bab topik Peluang.

sumber :http://rumus-matematika.com/bagaimana-mencari-persamaan-garis-singgung-kurva/

Read More

Definisi dan Sifat Bilangan Riil Lengkap

Bilangan riil atau sering disebut juga bilangan real dalam matematika menyatakan suatu bilangan yang dapat dibentuk menjadi desimal seperti 3.2678. Bilangan riil ini meliputi bilangan rasional yang direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir dan bilangan irasional yang direpresentasikan dalam bentuk desimal berulang. Untuk bilangan riil sendiri direpresentasikan sebagai salah satu titik pada garis bilangan.

Gambar disamping merupakan simbol yang sering digunakan untuk bilangan riil, sehingga kita akan lebih mudah untuk mengingatnya.
Sifat-sifat Bilangan Riil :
1. Aksioma Medan
Bilangan Riil dalam operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi aksioma berikut ini. Misalkan x dan y merupakan bilangan riil dimana x+y suatu operasi penjumlahan dan xy suatu operasi perkalian.

• Aksioma 1 ( hukum komutatif ) yaitu x+y=y+x dan xy=yx
• Aksioma 2 ( hukum asosiatif ) yaitu x+(y+z)=(x+y)+z dan x(yz)=(xy)z
• Aksioma 3 ( hukum distributif ) yaitu x(y+z)=xy+xz
• Aksioma 4 (eksistensi unsur identitas). Identitas untuk penjumlahan 0 dan untuk perkalian 1 yang menjadikan 0+x=x dan 1.x=x.
• Aksioma 5 (eksistensi negatif / invers) terhadap penjumlahan dimana x+y=0 maka dapat ditulis y=-x.
• Aksioma 6 (eksistensi resiprokal/invers) terhadap perkalian dimana xy=1 sehingga kita dapat melambangkan y=1/x

Himpunan yang memenuhi aksioma-aksioma diatas disebut medan, oleh karena itu aksioma-aksioma diatas disebut aksioma medan.
2. Aksioma Urutan
Disini kita akan mengasumsikan terdapat R+ yaitu bilangan riil positif, misalnya x dan y anggota R+, maka akan memenuhi aksioma :

• Aksioma 7 yaitu xy dan x+y anggota R+.
• Aksioma 8 yaitu untuk setiap x≠0 , x anggota R+ atau -x anggota R+, namun tidak mungkin keduanya sekaligus.
• Aksioma 9 yaitu 0 bukan merupakan anggota R+.

3. Aksioma Kelengkapan

• Aksioma 10 yaitu setiap anggota bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yaitu ada bilangan riil B sehingga B=sup(S).

Contoh cara mengubah pecahan biasa kedesimal

contoh cara mengubah pecahan ke persen

contoh cara mengubah persen ke pecahan

Itulah definisi dan sifat bilangan riil, semoga setelah membaca artikel ini anda dapat memahami tentang bilangan riil sehingga artikel ini dapat memberikan manfaat yang baik. Baca juga Bilangan rasional dan irasional yang merupakan bilangan yang tercakup dalam bilangan riil atau Materi Fungsi Eksponen dan logaritma sebagai tambahan pengetahuan matematika.

sumber : http://rumus-matematika.com/definisi-dan-sifat-bilangan-riil-lengkap/

Read More

Apa itu Bilangan Rasional dan Irasional ?

Bagi anda mungkin kategori bilangan ini memang sudah tidak asing lagi karena dalam dunia matematika bilangan ini sangat familiar, tapi ada beberapa yang juga belum begitu paham tentang Bilangan Rasional dan Irasional. Tetapi walaupun sebagian dari anda telah memahami betul bilangan rasional dan irasional itu, saya akan tetap memberikan penjelasan tentang bilamgan rasioanl da irasional secara gamblang. Sehingga yang tadinya tidak tahu menjadi mengerti bukan hanya tahu.

Bilangan rasional merupakan suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk a/b (pecahan) dimana a dan b adalah bilangan bulat dengan b bukan nol. Bilangan rasional juga memiliki batasan yaitu terdapat pada selang (-∞,∞).

Jika kita bicara bilangan rasional maka didalamnya sudah mencakup bilangan-bilangan seperti bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima serta bilangan bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional tersebut.

contoh :

Jika a/b = c/d maka, ad = bc.

Selanjutnya Bilangan irasional yaitu suatu bilangan yang tidak dapat dibagi karena hasil baginya tidak akan pernah terhenti. Jadi pada intinya, jika bilangan tersebut tidak dapat dijadikan bentu a/b maka merupakan bilangan irasional. Yang paling populer untuk contoh bilangan irasional yaitu π,  dan e.

π =  3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…

 = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..

e = 2,7182818….

Bagaimana apakah anda sudah paham Apa itu bilangan rasional dan irasional? Untuk lebih memudahkan dalam memahami konsep bilangan rasional dan irasional perhatikan contoh berikut.

Contoh:
1. Tentukan bilangan pecahan  paling sederhana dari bilangan 0,123123123123123….
Jawab:

Terlihat bahwa ada 3 bilangan yang berulang. maka pecahan itu adalah .
Setelah disederhanakan maka menjadi .2. Jika  adalah suatu pecahan dari bilangan 0,0142857142851714285171428517…. Tentukan a+b positif terkecil!
Jawab:
Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi 0,142857142851714285171428517….
Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah:.
Setelah disederhanakan, maka hasilnya adalah . Dengan demikian, a+b positif terkecil yang diminta adalah 70+1 = 71. Mudah bukan??

3. Apakah 0,12111111… adalah bilangan rasional?
Jawab:
Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola.
Anggap
A=0,121111…
Kalikan A dengan 100 menghasilkan
100A = 12,1111… _____._(persamaan pertama)
Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan
1000A = 121,1111… ____(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu
1000A-100A = 121,1111… – 12,1111…
900 A = 109
A = .
Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111… merupakan bilangan rasional.

4. Bagaimana dengan bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola desimal yang berulang-ulang seperti bilangan 0,25252525…?
Jawab:
Misalkan
A= 0,2525252525…. _____._(persamaan pertama)
Kalikan A dengan 100 menghasilkan:
100A=25,2525252525…. ___(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu:
100A-A = 25,2525252525… – 0,252525252525…
99A = 25
A = .
Ternyata bilangan 0,252525252525… dapat dibentuk menjadi pecahan di mana a=25 dan b=99.
Jadi, bilangan 0,25252525… adalah bilangan rasional.

5. Bagaimana dengan bilangan ..???
Jawab:

Bilangan  adalah bilangan imajiner, bilangan yang tidak real (bilangan yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional.

6.Bagaimana dengan bilangan 0,98787768638?
Jawab:
Tentu saja bilangan rasional. Itu kan dapat diubah menjadi .

Itulah beberapa contoh dari cara menentukan bilangan rasional dan irasional, pasti sekarang anda telah paham perbedaan dari kedua bilangan tersebut dan bagaiman menentukannya. Sebagai tambahan informasi baca juga Fungsi Eksponen da Logaritma yang telah diupdate sebelumnya.

sumber : http://rumus-matematika.com/apa-itu-bilangan-rasional-dan-irasional/

Read More